Risk ruin
Probabilite perdi tou ou kapital zwe avan ki ou arive lor ou lobzektif.
Pou pari peman egal, risk ruin swiv formil ruin zwer. Avek enn kapital zwe $500, pari $10 ek enn lobzektif $600, ou arive lor lobzektif-la apepre 57% dan ka ek ou perdi tou dan rest.
Kestion-la
Ou ena a initelarzanIniteMiz baz ki enn sistem ouswa enn zwer servi. Bann progresion dekrir an inite pou ki zot aplik lor nenport ki latab.Lir tou → kapital zwelarzanKapital zweTotal larzan ki ou met de kote pou zwe. Zesion kapital zwe vedir deside komie ladan ou riske par pari ek par sesion.Lir tou → ek ou anvi arive a + b inite, an parye enn inite sak fwa lor enn pari peman egalpariPari peman egalRouz/nwar, inper/per, ot/ba. 18 nimero, peye 1:1.Lir tou → avek probabilitematematikProbabiliteSans enn rezilta, depi 0 ziska 1 ouswa depi 0% ziska 100%. Enn nimero: 1/37 = 2.70%.Lir tou → gagne p = 18/37 ek probabilite perdi q = 19/37. Ki sans ou arive lor lobzektif-la avan ou tom lor zero? Pascal, Fermat ek Huygens ti trouv repons-la dan bann lane 1650 ek li enn parmi bann rezilta pli ansien dan probabilite.
Formil ruin zwer
P(arive lor lobzektif) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Risk ruinmatematikRisk ruinProbabilite perdi tou kapital zwe avan ariv enn lobzektif ouswa enn nonb tour.Lir tou → se enn mwins sa. Avek q/p = 19/18 ≈ 1.0556, rapor-la ogmante an exponansiel avek nonb inite, alor formil-la pini bann ti inite for-for: plis ou bizin pari pou arive lor lobzektif-la, plis ou pey sa tax 2.70% lor sime.
Kouma lir li
Ti inite fer dimal. Esey doub $500 avek pari $10 reisi 6% dan ka; avek enn sel pari $500 li reisi 48.6% dan ka. Zwe ardi, mwins pari ek pli gro pari, maksimiz sans tap enn lobzektif dan enn zwe avek lesperans negativ, akoz li minimiz nonb fwa ki lavantaz-la aplike. Li osi maksimiz varyansmatematikVaryansEnn mezir lor kouma bann rezilta dispers otour valer atandi. For pou pari lor enn sel nimero, ba pou pari peman egal.Lir tou → seki arive ou, ek li fini laswar-la vit. Teorem-la apel “zwe ardi optimal” ek Dubins ek Savage ti prouv li an 1965.
Kot problem-la ti koumanse
Kestion-la pli vie ki roulet. An 1656 Pascal ti donn Fermat enn devinet: de zwer zet trwa de, sakenn koumans avek 12 zeton konter; enn zete 11 fer enn zeton bouz dan enn direksion, enn zete 14 dan lot direksion. Toulede ti rezoud li, ek Huygens, ki ti tande parle par enn let matematisien Pierre de Carcavi, ti inprim li an 1657 kouma sinkyem problem dan premie liv lor probabilite, avek repons-la ek san prev. Ou kapav zet onz dan 27 fason ek katorz zis dan 15, alor sakenn zeton bouz dan direksion premie zwer 9 fwa lor 14, ek formil lao-la, avek 12 zeton sakenn, fer li apepre 1,157 fwa pli probab pou gagn tou ki pou perdi tou. Enn lavantaz 2.70% boukou pli tipti, me mem formil-la montre seki li fer lor boukou pari.
Enn vre pari ardi
An avril 2004 Ashley Revell, enn zenn Angle, ti vann preske tou seki li ti ena, mem so linz, ek ti amenn $135,300 dan Plaza Las Vegas. Apre detrwa ti pari, li ti met tou montan-la lor rouzpariRouzPari peman egal lor 18 nimero rouz. An franse: rouge.Lir tou →, enn sel fwa. Boul-laekipmanBoulTi boul ki lanse dan simen-la dan sans kontrer rotor. Zordi bann boul an ivorine ouswa Teflon, 18–21 mm.Lir tou → ti tom lor 7 rouz ek li ti sorti avek $270,600. Lor enn rou doub zerorouZeroSel kaz ver ki okenn pari peman egal, douzenn ouswa kolonn pa kouver; sours lavantaz kazino. Osi: enn sel zero, 0.Lir tou →, sa sel tour-la ti enn sans 47.37% ek ti kout li $7,121 an mwayenn, lavantaz 5.26% lor enn pari. Si li ti distribie an pari $10, mem lobzektif-la ti pou preske san espwar. Zwe ardi pa fer pari-la vinn bon; li fer li osi kourt ki posib.
Risk ruin san lobzektif
Si ou zis zwe ziska ou perdi tou ouswa ou arete apre N tour, kestion-la vinn “ki sans mo kapital zwe tous zero dan N tour?”. Pena enn form fermen pou enn N zeneral me similater lor sa sit-la kalkil li: enn kapital zwe $500 a $10 lor rouz preske zame perdi tou dan 100 tour (mwins ki 1%), perdi tou apepre 9% dan ka dan 500 tour, ek apepre 95% dan ka dan 5,000. San okenn regleman pou arete, probabilite-la al ver 100%, ek sa se version lor enn long dire lavantaz kazinomatematikLavantaz kazinoPart sak miz ki kazino gard an mwayenn: 2.70% dan roulet eropeen.Lir tou →.
- p10 −$500
- p25 −$500
- medyann −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Komie letan, ek komie an avans
De lot rezilta klasik reponn bann kestion ki zwer vremem poze. San lobzektif, bann pari peman egal avek miz fix dire an mwayenn 37 tour pou sakenn inite kapital zwe lor enn rou eropeen ek 19 lor enn rou amerikin, akoz sakenn tour pran 1/37 enn inite an mwayenn (1/19 lor enn rou amerikin): 100 inite dire 3,700 tour an mwayenn, mem si mwatie sa bann sesion-la fini avan 3,134 (get Longer ek kout enn sesion). Ek ki mem gran kapital zwe-la ete, sans lor enn rou eropeen pou zame ena k inite an avans se (18/19)ᵏ. Sa fer 95% pou enn inite ek 58% pou dis, me okenn kapital zwe, mem pli gro, pa donn enn sans egal pou enn zour ena 13 inite an plis; lor enn rou amerikin sans-la se (9/10)ᵏ ek li tom anba mwatie a 7 inite.
Enn kapital zwe pou enn sans sinkant-sinkant
Ranvers kestion-la: komie ou bizin amene pou ena omwin enn sans sinkant-sinkant pou gagn enn serten montan avan ou perdi tou? Pou enn ti gin, pa boukou. Pou enn pli gro gin, kapital zwe ki bizin monte for-for, ek apre enn serten pwen okenn kapital zwe pa ase, akoz mem enn kapital ki pa fini donn mwins ki enn sans sinkant-sinkant pou enn zour ena sa avans-la. Taylor (2021) dir li enn lot fason: lor enn rou amerikin, pou ena enn sans sinkant-sinkant pou arive 100 inite, ou bizin koumanse avek 94, ou riske 94 pou gagn 6. Lor enn rou eropeen ou ti pou bizin 88.
Leson pratik
Deside seki ou pe rod fer. Si lobzektif-la se enn gin presi, parye gro ek pa boukou fwa. Si lobzektif-la se enn long laswar, parye tipti ek aksepte ki lavantaz-la pou pran so 2.70% lor enn gro total paryelarzanTotal paryeTotal larzan ki ou parye lor enn sesion ouswa enn peryod, ek bann gin ki ou reparye ladan. Osi: handle, action.Lir tou →. Si lobzektif-la se toulede, kiksoz bizin lage, ek souvan se lobzektif-la.
Formil
Kestion
MartingalestrateziMartingaleProgresion ki doub pari-la apre sak pert. Get seksion Stratezi pou kone seki li fer ek seki li pa fer.Lir tou → diminie li pou ti sesion ek ogmant li enormeman pou long sesion. Miz fixstrateziMiz fixParye mem montan sak tour. Referans ki ou konpar sak progresion avek li.Lir tou → avek enn pli gro inite se fason onet pou diminie li.
Formil lao-la pou peman egal. Pou pari avek gran varyans, ruin pli probab avek ti miz ek ou arive lor lobzektif-la dan enn fason pli sakade; servi kalkilater-la.
Sakenn pa ver lobzektif-la enpe mwins probab ki sakenn pa ver ruin; rapor-la akimile lor nonb pa.
Lamizman ar matematik
Esey rezoud zot ou mem avan. Sakenn solision kase; ouver li kan ou pare.
Ou ena $100 ek ou anvi $1,000, ek ou parye zis lor rouzpariRouzPari peman egal lor 18 nimero rouz. An franse: rouge.Lir tou →. Plan enn: parye $1 a la fwa. Plan de: parye tou seki ou ena ziska ou depas $500, apre zis ase pou ariv $1,000. Lekel plan pli bon, ek par komie?
Montre solision-la
Repons Plan de, lwin devan. Li ariv $1,000 apepre 9.0% di tan, pre 10% enn zwe zis. Plan enn reisi apepre 7 fwa lor 10²².
Dan enn zwe zismatematikZwe zisEnn zwe kot okenn kote pena lavantaz: sak pari ena enn valer atandi zero.Lir tou → ou ti pou ariv $1,000 depi $100 enn fwa lor dis, nimport ki ou fer, akoz valer mwayenn ou larzan res $100.
Lavantaz-la pran 2.70% lor sakenn pari, alor mwins ou parye an total, pli ou res pre enn lor dis. Plan de deside zafer-la dan enn ti pake pari: $100 vinn $200, $400, $800, ek apre $200 ase. Li reisi apepre 9.0% di tan. Plan enn pran plizier milye pari avan marss-la fini, ek lavantaz-la, piti lor sakenn, adisionn ziska enn ruin preske sir.
Sa se rezilta Dubins–Savage dan so form pli sinp (Epstein, 2013): dan enn zwe ki favoriz kazino, parye otan ki ou bizin, osi tigit fwa ki ou kapav.
Ou ena $500 ek ou anvi $1,000, ek ou aret deswit ki ou ena li. Ou swazir enn sel kalite pari ek ou repet li ziska li gagn enn fwa ouswa larzan fini. Lekel kalite donn meyer sans?
Montre solision-la
Repons Enn sel pari $500 lor rouz: 48.6%. Tou plan ki partaz larzan lor pli tipti pari fer pli mal.
Swazir sakenn miz pou ki enn sel gin ase: $30 lor enn pari lor enn sel nimeropariPari lor enn sel nimeroEnn sel nimero, peye 35:1.Lir tou → gagn $1,050, $60 lor enn pari lor de nimeropariPari lor de nimeroDe nimero kot-a-kot, peye 17:1.Lir tou → gagn $1,020, ek koumsa deswit. Apre kont sans ki omwin enn pari gagne avan larzan fini. Sez pari $30 lor enn sel nimero tou rate avek sans (36/37)¹⁶ = 64.5%, alor zot ariv $1,000 35.5% di tan.
Tablo-la montre sakenn pari. Rouz fer pli bon akoz li ariv laba dan enn sel pari, alor lavantaz-la peye enn sel fwa, lor $500. Pari lor sis nimeropariPari lor sis nimeroSis nimero dan de ranze kot-a-kot, peye 5:1. An franse: sixain.Lir tou → vinn dezyem akoz li bizin zis trwa. Enn sel pari lor enn douzennpariDouzenn1–12, 13–24 ouswa 25–36, peye 2:1.Lir tou → pli mal, enn sans 12/37; mem si ou zwe li par initelarzanIniteMiz baz ki enn sistem ouswa enn zwer servi. Bann progresion dekrir an inite pou ki zot aplik lor nenport ki latab.Lir tou → $250 ziska ou ena $1,000 ouswa plis, douzenn-la ariv laba zis 46.4% di tan.
Bollman (2024) konstrir mem tablo-la pou enn rou amerikin. So lign douzenn ena enn erer: li ti bizin dir 12/38 = 31.6%.
parimiz × nonb parisans pou ariv $1,000Pari lor enn sel nimero$30 × 1635.5%Pari lor de nimero$60 × 835.9%Pari lor trwa nimero$90 × 534.5%Pari lor kat nimero$125 × 436.7%Pari lor sis nimero$166, $166, $16841.2%Douzenn$500 × 132.4%Rouz$500 × 148.6%Ou parye enn inite lor rouz, tour apre tour, avek enn kapital zwelarzanKapital zweTotal larzan ki ou met de kote pou zwe. Zesion kapital zwe vedir deside komie ladan ou riske par pari ek par sesion.Lir tou → ki zame fini. Apre premie tour ou enn inite devan ouswa enn inite deryer. Ki sans ki ou pou enn zour retrouv ou egzakteman egal ankor?
Montre solision-la
Repons 36 lor 37, 97.3%. Lor enn rou amerikin li 36 lor 38, 94.7%.
Si premie tour gagne (18 fwa lor 37), ou enn inite devan, ek lavantaz-la tir tou sesion san fin anba, alor tou fason tou, ou repas par egalite: sa sir. Si li perdi (19 fwa lor 37), ou bizin mont enn inite, ek sans pou enn zour vinn enn inite devan se 18/19 (get tablo par-anler).
Ansam: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
An zeneral sans-la se 1 mwins diferans ant sans gagne ek sans perdi enn tour: 1 − 1/37 lor enn rou eropeen, 1 − 2/38 lor enn rou amerikin. Dan enn zwe san zerorouZeroSel kaz ver ki okenn pari peman egal, douzenn ouswa kolonn pa kouver; sours lavantaz kazino. Osi: enn sel zero, 0.Lir tou → diferans-la nanye ek sans-la 1: skor-la touzour retourn egal. Epstein (2013) donn regleman zeneral.
Problem Pascal 1656: de zwer zet trwa de, sakenn koumans avek 12 zeton. Sakenn 11 pas enn zeton ar premie zwer, sakenn 14 pas enn ar dezyem; lezot zet pa konte. Ki sans premie zwer gagn tou 24? Ek si olie ou parye 1 inite lor rouz sakenn tour kont enn kamarad ki zwe labank, 12 inite sakenn, ki sans ou gagn tou 24?
Montre solision-la
Repons Premie zwer gagn apepre 1,157 fwa lor 1,158. Ou, lor rouz, gagn tou 24 inite zis apepre 34% di tan.
Trwa de fer 11 dan 27 fason ek 14 dan 15 fason, alor sakenn zeton ki bouze al ar premie zwer 27 fwa lor 42, 9 fwa lor 14. Avek sakenn kote ki koumans lor 12, sans pou pran tou se 1/(1 + r¹²), kot r se rapor ant sans lot kote ek pou ou.
Pou premie zwer r = 5/9, ek (5/9)¹² ≈ 0.00086, alor sans-la apepre 0.99914: kot 9¹² kont 5¹², ouswa 282,429,536,481 kont 244,140,625, apepre 1,157 kont 1. Huygens ti inprim egzakteman sa bann sif-la an 1657.
Lor rouz, r = 19/18 akoz zero, ek (19/18)¹² ≈ 1.913: ou sans se 1/2.913 ≈ 34.3%. Enn pies ti pou donn 50%. Lavantaz 2.70% lor sakenn pari adisionn, lor bann pari ki bizin, ziska enn diferans 16 pwen.
Enpe riye
Zwe ardi optimal. Li osi fini vit.
Sours
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Let pou Huygens, 28 septam 1656, lor problem ki Pascal ti poz Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”